Análisis epistemológicos y didácticos de nociones, procesos y significados de objetos analíticos
Los objetivos pueden ser estructurados en tres grandes bloques: modelos matemáticos, teoría didáctica y didáctica de análisis.
La introducción de las nociones fundamentales del cálculo determina los siguientes objetivos:
v Construcción de una situación fundamental, es la determinación de un conjunto de relaciones entre los estudiantes, el profesor y el saber “limite” de tal forma que los estudiantes descubran dicha noción como respuesta.
v Justificar la pertinencia de las nuevas tecnologías para la enseñanza y el aprendizaje de las nociones fundamentales del cálculo.
v La interacción entre lo aritmético-algebraico y lo analítico.
Es necesario un trabajo que contribuya a la unidad y a la formalización teórica de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica; se ha contratado que ciertas teorías didácticas se adaptan especialmente a la descripción y comprensión de determinadas situaciones de enseñanza y aprendizaje.
Las aportaciones teóricas y empíricas pueden ser estructuradas en tres grupos, atendiendo a las obras matemáticas objeto de estudio, a lo que se debe entenderse por comprensión y significado de un objeto matemático y a la implicación que ello tenga en una didáctica normativa, a la pertenencia del uso de nuevas tecnologías en la enseñanza.
La enseñanza obligatoria establece dos puntos clave, el paso de la aritmética al álgebra, y el paso de la aritmética al análisis. El paso de la aritmética al álgebra es identificado con las primeras manipulaciones simbólico –literales de objetos ostensivos que hacen evolucionar el pensamiento matemático.
La noción del límite secuencial determina en las instituciones escolares actuales el paso fundamental del álgebra al análisis. La interpretación analítica supone un cambio en los métodos de demostración.
Godino y Batanero proponen una perspectiva Semiótico-Antropológica en Didáctica de la Matemáticas que parte de un análisis de la noción del significado desde un punto de vista didáctico.
Una teoría pragmática del significado de los objetos matemáticos, condicionados institucionales, personal y temporalmente.
Descripción de significados curriculares de objetos que van a ser enseñados en una determinada institución escolar, esto es, criterios de un estructurado de gestos, técnicas, procedimientos, nociones y problemas asociados a un determinado objeto matemático y que constituyen su significado situacional.
Si se comprende la evaluación del comportamiento (cognitivo y matemático) como la adaptación entre los significados institucionales determinados de antemano, se precisa de medios específicos para enmarcar los contenidos a “enseñar”.
La técnica juega un papel central en las formas de construcción y comunicación matemático, la motivación didáctica se enmarca dentro de una necesidad cultural y social de integrar de manera eficaz las nuevas tecnologías en la educación.
Chevalier y Briand muestra cómo un uso no pertinente de calculadoras gráficas puede llevar a interpretaciones erróneas de resultados obtenidos “reflexivamente” resaltando la necesidad de que todo aprendizaje vaya acompañando de medios de control sobre la actividad que se esté realizando. García muestra como las nuevas tecnologías pueden reducir el tiempo que se dedica en la enseñanza tradicional al dominio de ciertas técnicas.
La visualización juega un papel central y la enseñanza del análisis matemático justifica una tendencia en las investigaciones en didáctica del análisis y a tomar como objeto central de estudio el grafico cartesiano de funciones.
La educación matemática ha hecho hincapié en mostrar la necesidad de un aprendizaje por adaptación a situaciones, se resalta la necesidad de una enseñanza que permita a los estudiantes el transito flexible entre diferentes estados de una misma noción o procesos matemáticos.
Es necesario determinar los significados curriculares o de referencia de los objetos matemáticos que han de ser enseñados en las instituciones escolares.
La didáctica de las matemáticas recibe el influjo de distintas ciencias; psicologías cognitivas y educativas, pedagogía, epistemología y matemática.
El programa epistemológico postula que la DM es una ciencia autónoma, cuyo objeto de estudio es la comunicación y construcción de objetos matemáticos en lo que este estudio tiene de específico de dichos objetos matemáticos.
En la actualidad las propuestas educativas postulan una enseñanza lineal de la aritmética, el álgebra, y el análisis. La descripción de estos pasos determina en buena medida, la profundidad de los análisis instruccionales, cognitivos, didácticos y aun epistemológicos.
Estos pasos llevan asociados dos fenómenos: linealidad y reduccionismo.
El reduccionismo se puede describir en los siguientes términos. El álgebra es comprendida como una aritmética generalizada y el análisis como un álgebra de funciones.
La enseñanza del álgebra se centra en la manipulación simbólica y en generalizar los métodos aritméticos concretos. La enseñanza del análisis ha intentado mostrar la potencia de las manipulaciones formales esbozadas en la enseñanza del álgebra, por ampliación del universo de objetos.
El análisis matemático se debe desplazar desde los análisis formales hacia la comunicación y construcción de conocimientos de forma más intuitiva, gráfica y numérica, las nuevas tecnologías deben jugar un papel central en la introducción de las nociones, procesos y significados de objetos analíticos.
Podemos describir de forma global la metodología como cualitativa. Dentro del programa epistemológico se impone el método de la ingeniería didáctica, que permite validar hipótesis previamente formuladas por medio de un estudio exhaustivo de las restricciones cognitivas, instruccionales, epistemológicas y didácticas del sistema didáctico objeto del estudio.
La intención última es encontrar medios óptimos para la enseñanza y el aprendizaje de las nociones, procesos y significados de los objetos propios de análisis matemático.
Las fases de la metodología de la ingeniería didáctica son:
Análisis preliminares (epistemológicos, enseñanza tradicional, concepciones de los estudiantes, restricciones) teniendo en cuenta nuestro objetivo general. La concepción y el análisis a priori: análisis de control de significado, construcción de un medio didáctica y establecimientos de un contrato didáctico tentativo. Experimentación, análisis a posteriori. Se entiende que un sujeto comprende una noción o procedimiento matemático que se desea introducir si es capaz de adaptarse al medio implementado. Un análisis a priori que busca precisar las posibilidades que se han identificado en el análisis preliminar; en concreto, identificar los valores de las variables didácticas, los comportamientos previstos teniendo en cuenta estos comportamientos.
La pertinencia de la ingeniería didáctica puede comprenderse no sólo porque constituye la metodología predominante dentro del programa epistemológico, sino también porque representa un medio de producción de materiales para la enseñanza.
La descripción de la actividad de un sujeto en producción matemática es compleja, porque hay que interpretar una consecuencia de operaciones y atribuirles un significado en contexto matemático y didáctico. La relación entre los saberes y las acciones de un sujeto ha conducido a la introducción de cuatro operaciones fundamentales de producción de un conocimiento: algorítmica, significante, interpretación y formalización.
La producción de objetos matemáticos puede ser descrita en cuenta las realizaciones observadas y las descripciones que de estas hace un observador. La descripción de toda acción supone la existencia de un observador que identifica un comportamiento de un sujeto enfrenado a un medio.
Consideramos el aprendizaje como la adaptación a una situación de enseñanza en la que participa un profesor, es necesario tener en cuenta, además de las operaciones de producción. Las intervenciones matemáticas determinan en gran medida la evolución del proceso de estudio, puesto que en muchos casos implican redefiniciones del contrato didáctico.
La pertinencia del mismo se acepta porque nos ha posibilitado anticipar resultados experimentales. El carácter teórico puede ser comprendido de dos dimensiones más profundas: el trabajo del lenguaje y la importancia que para la didáctica.
La noción de modelo permite reinterpretar nociones fundamentales aportadas por diferentes teóricas de la didáctica de las matemáticas.
PENSAMIENTO MATEMATICO FLEXIBLE: transito rutinario entre diferentes modelos locales, asociados a un objeto matemático, reconociendo las limitaciones propias de cada uno de ellos.
SIGNIFICADO: interpretación de la red de modelos locales asociados a una noción, esto es, sentido atribuido a dichos modelos y a las tenciones, filiaciones y contradicciones que entre ellos se establecen.
PRAXEOLOGIA: una praxeología es un modelo del gesto, tareas, rutinas y técnicas utilizados en un proceso de estudio, así como de las descripciones y justificaciones de este proceso.
SITUACIÓN FUNDAMENTAL: es una situación fundamental es un modelo local capaz de generar tensiones estables con gran parte del resto de modelos locales ligados al saber del juego.
Su naturaleza de los sistemas pueden ser clasificados como abiertos o colapsados. Si el sistema es abierto, el modelo es de interpolación; si el sistema está colapsado, se necesita un modelo de extrapolación que permita la ampliación de la problemática mediante la definición de un objeto o conjuntos de objetos.
El esquema M-ASIF es una herramienta muy bien adaptada para la descripción de demostraciones de una proposición matemática en situaciones de enseñanza.
La intuición matemática tiene un carácter esencialmente local, representa una necesaria interpretación de un modelo local asociado a un determinado objeto matemático.
Las interpretaciones de nociones suponen una proyección de nociones extraídas de diferentes perspectivas teóricas en DM es un único plano donde pueden ser utilizadas de manera coherente.
La determinación de las técnicas que se desea enseñar permite establecer orientaciones sobre la ecología de los saberes y la elaboración de una transposición didáctica.
La enseñanza clásica del análisis se ha centrado en la manipulación simbólica de los objetos matemáticos, en secuencias de tareas “matemáticamente completas”.
