EJERCICIOS DE TEOREMA DE PITAGORAS

TEOREMA DE PITAGORAS

TEOREMA DE PITAGORAS 

Antes de  explicar el teorema quiero explicarles como fue creado.

Pitágoras de Samos (582 a.c.-507 a.c.),fue un filósofo y matemático griego. a diferencia de lo que puede suponerse, pitágoras no fue el creador del teorema que lleva su nombre. dicho teorema fue desarrollado y aplicado mucho tiempo antes en babilonia y la India; sin embargo, la escuela pitagórica (y no el propio Pitágoras) fue pionera en hallar una demostración formal del teorema.

En 1927, el matemático E. S. Loomis recopiló más de 350 demostraciones del teorema de Pitágoras. Loomis clasificó dichas demostraciones en cuatro grupos: las demostraciones geométricas, que se realizan en base a la comparación de áreas; las demostraciones algebraicas, desarrolladas a partir de la relación entre los lados y los segmentos del triángulo. las demostraciones dinámicas, que apelan a las propiedades de fuerza; y las demostraciones cuaterniónicas, que surgen con el uso de vectores.

El teorema de Pitágoras señala que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Para comprender este teorema, hay que tener en cuenta que un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto ósea de  90º, que la hipotenusa es el lado de mayor longitud ( el más grande) de dicho triángulo (y opuesto al ángulo recto) y que los catetos son los dos lados menores del triángulo recto.

Cabe mencionar que este  teorema solo aplica En los triángulos rectángulos, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

             

Si sabemos que  las medidas son las sig:

Cateto opueto: 3 cm

Cateto adyacente : 4 cm

Cuanto  cm corresponden a la hipotenusa.

 Procedimiento

                                              2            2           2                                                                                                                                                                                                                                                                                                          .                                        (3)+ (4)= (x)    

                                                                                         2                                                                                                                                                                       .                                                          (9)+(16)=(x)

                                                                                        2                                                                                                                                                                                .                                                                     25 = (x)

                                                Raíz cuadrada de  25=5

                                                             Por lo tanto  x=5                                                                         

Teorema de Thales de mileto

Teorema de Thales de mileto

Se denomina Teorema de Tales de Mileto porque Thales es la persona griega que uso este teorema con más frecuencia y facilidad,  y  Mileto porque era precedente de esta ciudad en Asia Menor. Cabe mencionar que este teorema ya había sido utilizado un siglo anterior por el matemático Euclides. a continuación un poco de historia de como  fue la vida de este sabio

Fue uno de los siete sabios de Grecia y el primer matemático griego que inicio el desarrollo racional de la geometría. Tuvo que soportar las burlas de quienes pensaban que sus muchas horas de trabajo e investigación eran inútiles. Pero un día  decidió sacar rendimiento a sus conocimientos. Sus observaciones meteorológicas , por ejemplo le sirvieron para saber antes que nadie que la siguiente cosecha de aceitunas seria magnifica. Compró todas las prensas de aceitunas que había en Mileto. La cosecha fue efectivamente buenísima y todos los demás agricultores tuvieron que pagarle por sus prensas. Hacia el año 600 antes de Cristo, cuando las pirámides habían cumplido ya el segundo milenio, el sabio griego Tales de Mileto visito Egipto, el faraón que conocía la fama de  Tales, le pidió que resolviera un viejo problema :conocer la altura exacta de la gran pirámide, Tales se apoyo en su bastón y esperó. Cuando la sombra del bastón fue igual de larga que el propio bastón, le dijo a un servidor del faraón “corre y mide” rápidamente la sombra de la gran pirámide. En este momento es tan larga como la propia pirámide. Tales era famoso desde que en el año 585 a.C., predijo con toda exactitud un eclipse de sol.

Definición del teorema

Cuando dos rectas secantes son cortadas por  varias rectas  paralelas, los segmentos que se forman en una de las secantes son proporcionales a los que se forman en la otra.

Por ejemplo : si      c=5, d = 12 y a= 7 b= x

c          a       5      7

----                 -----  =     -----          ----

d          b     12     x

procedimiento: multiplicamos cruzado y dividimos en horizontal osea: 12 por (7)=84 entre 5 = 16.8

  x= 16.8

Análisis epistemológicos y didácticos de nociones, procesos y significados de objetos analíticos

Análisis epistemológicos y didácticos de nociones, procesos y significados de objetos analíticos

Los objetivos  pueden ser estructurados en tres grandes bloques: modelos matemáticos, teoría didáctica y didáctica de análisis.

La introducción  de las nociones  fundamentales  del cálculo determina los siguientes  objetivos:

v  Construcción  de una situación fundamental, es la determinación  de un conjunto  de relaciones  entre los estudiantes, el profesor y el saber “limite” de tal forma  que los estudiantes  descubran  dicha noción  como respuesta.

v  Justificar  la pertinencia  de las nuevas  tecnologías  para la enseñanza  y el aprendizaje de las nociones fundamentales del cálculo.

v  La interacción  entre lo aritmético-algebraico  y lo analítico.

Es necesario un trabajo que contribuya a la unidad y a la formalización  teórica de la didáctica  de las matemáticas como disciplina científica; se ha contratado que ciertas teorías didácticas se adaptan especialmente a la descripción y comprensión de determinadas situaciones de enseñanza y aprendizaje.

Las aportaciones teóricas y empíricas pueden ser estructuradas en tres grupos, atendiendo a las obras matemáticas objeto de estudio, a lo que se debe entenderse por comprensión y significado de un objeto matemático y a la implicación  que ello tenga en una didáctica normativa, a la pertenencia del uso de nuevas tecnologías  en la enseñanza.

La enseñanza obligatoria  establece dos puntos clave, el paso de la aritmética al álgebra,  y el paso de la aritmética  al análisis. El paso de la aritmética al álgebra  es identificado  con las primeras  manipulaciones  simbólico –literales  de objetos ostensivos  que hacen evolucionar el pensamiento  matemático.

La noción del límite secuencial  determina en las instituciones  escolares  actuales el paso fundamental del álgebra  al análisis. La interpretación analítica supone un cambio en los métodos  de demostración.

Godino y Batanero  proponen una perspectiva  Semiótico-Antropológica  en Didáctica  de la Matemáticas que parte  de un análisis  de la noción del significado  desde un punto de vista didáctico.

Una teoría pragmática  del significado  de los objetos  matemáticos, condicionados institucionales, personal y temporalmente.

Descripción de significados  curriculares de objetos que van a ser enseñados  en una determinada institución  escolar, esto es, criterios  de un estructurado de gestos, técnicas, procedimientos, nociones y problemas  asociados a un determinado  objeto matemático y que constituyen  su significado situacional.

 Si se comprende la evaluación  del comportamiento (cognitivo y matemático) como la adaptación  entre  los significados  institucionales determinados  de antemano, se precisa de medios específicos para enmarcar los contenidos a “enseñar”.

La técnica juega un papel central en las formas  de construcción  y comunicación matemático, la motivación didáctica se enmarca dentro de una necesidad cultural y social de integrar de manera eficaz las nuevas  tecnologías en la educación.

Chevalier y Briand muestra  cómo un uso no pertinente de calculadoras gráficas  puede llevar  a interpretaciones  erróneas  de resultados obtenidos “reflexivamente”  resaltando  la necesidad  de que todo aprendizaje vaya acompañando  de medios de control sobre la actividad que se esté realizando. García  muestra  como las nuevas tecnologías  pueden reducir el tiempo  que se dedica en la enseñanza tradicional al dominio de ciertas técnicas.

La visualización  juega un papel  central y la enseñanza  del análisis matemático justifica  una tendencia en las investigaciones  en didáctica  del análisis y a tomar  como objeto central de estudio el grafico  cartesiano de funciones.

La educación  matemática  ha hecho hincapié  en mostrar la necesidad de un aprendizaje por adaptación a situaciones, se resalta la necesidad de una enseñanza  que permita a los estudiantes  el transito flexible  entre diferentes estados de una misma noción  o procesos matemáticos.

Es necesario determinar los significados  curriculares  o de referencia  de los objetos matemáticos  que han de ser enseñados en las instituciones escolares.

La didáctica de las matemáticas  recibe el influjo de distintas ciencias; psicologías cognitivas y educativas, pedagogía, epistemología y matemática.

El programa epistemológico postula que la DM es una ciencia autónoma, cuyo objeto de estudio es la comunicación y construcción  de objetos matemáticos en lo que este estudio tiene de específico de dichos objetos matemáticos.

En la actualidad las propuestas educativas postulan una enseñanza  lineal  de la aritmética, el álgebra,  y el análisis. La descripción de estos pasos determina en buena medida, la profundidad de los análisis instruccionales, cognitivos, didácticos y aun epistemológicos.

Estos pasos llevan asociados dos fenómenos: linealidad y reduccionismo.

El reduccionismo se puede describir en los siguientes términos. El álgebra es comprendida como una aritmética generalizada y el análisis como un álgebra de funciones.

La enseñanza del álgebra se centra en la manipulación  simbólica y en generalizar los métodos aritméticos concretos. La enseñanza del análisis ha intentado mostrar la potencia de las manipulaciones  formales  esbozadas en la enseñanza del álgebra, por ampliación del universo de objetos.

El análisis matemático  se debe desplazar desde los análisis formales hacia la comunicación  y construcción  de conocimientos de forma más intuitiva, gráfica y numérica, las nuevas tecnologías  deben jugar un papel central en la introducción  de las nociones, procesos y significados de objetos analíticos.

Podemos describir de forma global la metodología como cualitativa. Dentro del programa epistemológico  se impone  el método de la ingeniería didáctica, que permite validar hipótesis previamente formuladas por medio de un estudio exhaustivo de las restricciones cognitivas, instruccionales, epistemológicas y didácticas  del sistema didáctico  objeto del estudio.

La intención última  es encontrar medios óptimos para la enseñanza  y el aprendizaje  de las nociones, procesos y significados de los objetos propios de análisis matemático.

Las fases de la metodología de la ingeniería didáctica son:

      Análisis preliminares (epistemológicos, enseñanza tradicional, concepciones de los estudiantes, restricciones) teniendo en cuenta nuestro objetivo general.

      La concepción y el análisis a priori: análisis de control de significado, construcción  de un medio didáctica y establecimientos de un contrato didáctico tentativo.

      Experimentación, análisis a posteriori. Se entiende  que un sujeto  comprende una noción  o procedimiento matemático  que se desea introducir  si es capaz de adaptarse al medio implementado.

 Un análisis  a priori  que busca precisar las posibilidades  que se han identificado  en el análisis  preliminar;  en concreto, identificar  los valores de las variables didácticas, los comportamientos  previstos teniendo  en cuenta estos comportamientos.

La pertinencia  de la ingeniería didáctica puede comprenderse no sólo porque constituye la metodología  predominante dentro del programa epistemológico, sino también porque representa un medio  de producción  de materiales para la enseñanza.

La descripción  de la actividad de un sujeto en producción  matemática  es compleja, porque hay que interpretar  una consecuencia  de operaciones  y atribuirles  un significado  en contexto  matemático  y didáctico. La relación  entre los saberes y las acciones  de un sujeto  ha conducido  a la introducción de cuatro  operaciones  fundamentales  de producción  de un conocimiento: algorítmica, significante, interpretación y formalización.

La producción  de objetos matemáticos puede ser descrita en cuenta las realizaciones observadas y las descripciones  que de estas hace un observador. La descripción  de toda acción supone la existencia de un observador  que identifica un comportamiento de un sujeto enfrenado a un medio.

Consideramos  el aprendizaje como la adaptación  a una situación  de enseñanza en la que participa un profesor, es necesario tener en cuenta, además  de las operaciones de producción. Las intervenciones matemáticas determinan en gran medida la evolución  del proceso  de estudio, puesto que en muchos casos implican  redefiniciones  del contrato didáctico.

La pertinencia del mismo  se acepta  porque nos ha posibilitado anticipar  resultados experimentales. El carácter teórico  puede ser comprendido  de dos dimensiones más profundas: el trabajo del lenguaje y la importancia que para la didáctica.

La noción  de modelo permite reinterpretar  nociones fundamentales  aportadas  por diferentes teóricas  de la didáctica de las matemáticas.

PENSAMIENTO MATEMATICO FLEXIBLE: transito rutinario entre diferentes  modelos locales, asociados a un objeto matemático, reconociendo las limitaciones propias de cada uno de ellos.

SIGNIFICADO: interpretación  de la red de modelos  locales asociados a una noción, esto es, sentido atribuido a dichos modelos y a las tenciones, filiaciones y contradicciones  que entre ellos se establecen.

PRAXEOLOGIA: una praxeología es un modelo  del gesto, tareas, rutinas y técnicas utilizados en un proceso  de estudio, así como de las descripciones  y justificaciones  de este proceso.

SITUACIÓN FUNDAMENTAL: es una situación  fundamental  es un modelo  local capaz  de generar tensiones estables con gran parte del resto de modelos locales ligados al saber del juego.

Su naturaleza de los sistemas pueden ser clasificados  como abiertos o colapsados. Si el sistema es abierto, el modelo es de interpolación; si el sistema está colapsado, se necesita un modelo de extrapolación  que permita la ampliación  de la problemática    mediante la definición  de un objeto o conjuntos de objetos.

El esquema M-ASIF es una herramienta muy bien adaptada para la descripción  de demostraciones  de una proposición  matemática en situaciones de enseñanza.

La intuición  matemática  tiene un carácter  esencialmente  local, representa una necesaria interpretación  de un modelo local asociado a un determinado  objeto matemático.

Las interpretaciones  de nociones suponen una proyección  de nociones  extraídas  de diferentes  perspectivas teóricas en DM  es un único  plano  donde pueden ser utilizadas de manera  coherente.

La determinación  de las técnicas  que se desea enseñar permite  establecer orientaciones sobre la ecología de los saberes y la elaboración  de una transposición didáctica.

La enseñanza clásica del análisis  se ha centrado en la manipulación  simbólica de los objetos matemáticos, en secuencias de tareas “matemáticamente completas”.

El aporte de los obstaculos epistemologicos

PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD